К одной оффлайновой дискуссии вчера: про предел
(1+a/n)^n -> e^a при n->\infty.

Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из
C_n^k / n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k
предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты).
А подход через логарифм считал странным трюком.

А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила «Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй!». А n-я степень это то же произведение.
Убираем под логарифм, получаем
n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty,
значит, сама степень стремится к e^a.

Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…