Ещё немного к завтрашней лекции А. П. Веселова — соседняя история про q-деформацию. Возьмём поле F_q из q элементов. И спросим: сколько k-мерных подпространств есть в F_q^{n}?
(Если формулировать другими словами — сколько точек в грассманиане Gr(k,n) над F_q?)

Оказывается, что получается многочлен от q. Но в него можно подставлять не только те значения q, для которых есть соответствующие поля (т.е. степени простых), но и вообще что угодно. Например, q=1. А что мы будем получать?

Например, сколько точек в проективном пространстве P^{n}(F_q) — или, что то же самое, сколько в F_q^{n+1} прямых через 0? Проективное пространство делится на аффинную карту F_q^n, в которой q^n точек, и проективное пространство «точек на бесконечности» на единицу меньшей размерности; по индукции получаем
q^n+q^{n-1}+…+q+1.
В частности, при q=1 этот многочлен равен n+1.

Определение. q-аналогом числа n называется число точек n-1-мерной проективной плоскости P(F_q^n)
[n]_q := q^{n-1}+…+q+1.

Несложно видеть, что k- и n-k-мерных подпространств в F_q^n одинаковое количество (в качестве вещественной ассоциации — можно брать взятие ортогонального дополнения в качестве биекции), поэтому этот же ответ справедлив и для количества (n-1)-мерных подпространств.

Если определить q-факториал по индукции
[0]!=1, [n]!=[n-1]! * [n],
то он соответствует количеству полных флагов : цепочек подпространств
0=V_0 \subset V_1 \subset … \subset V_{n-1} \subset V_{n} = F_q^n,
где V_i — i-мерное.

Наконец, каждое k-мерное подпространство V_k участвует в
[k]! * [n-k]!
полных флагах (потому что нужно продолжить цепочку вниз — это [k]! вариантов — и вверх, их [n-k]!).
Так что точек в грассманиание Gr(k,n) —
[n]! / ([k]! [n-k]!).

При подстановке q=1 получается как раз биномиальный коэффициент!