пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]

если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)

если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})

эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы

упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам

по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье

всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров