Вопрос: а что будет, если мы точки на окружности сложим, используя символ Лежандра в качестве знака? То есть — рассмотрим сумму

\sum_{m=1}^{p-1} L(m|p) exp(2πi m/p )

Ещё — можно заметить, что сумма всех p отмеченных точек на окружности нулевая (благо, что это вершины правильного p-угольника), так что можно её к сумме выше добавить. Теперь у нас точка z=1 (отвечающая m=0) идёт с коэффициентом 1, точки, отвечающие квадратичным невычетам, идут с нулевым коэффициентом (-1+1=0), а точки, отвечающие квадратичным невычетам, с коэффициентом 2. Так что сумма выше равна

\sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p ) = \sum_{n=0}^{p-1} ζ^(n^2),

где ζ = exp( 2πi/p ).

Определение. Сумма выше называется гауссовой суммой.

Пример. Давайте посмотрим, что получается при p=3, 5, 7, 11. Ответ — на картинках ниже!