Давайте досчитаем? Мы получили, что для прямоугольного треугольника на сфере

s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b),

где s(r) это площадь круга радиуса r на сфере. Давайте уберём коэффициент: рассмотрим отношение

q(r):= s(r) / (2πR^2),

тогда просто

q(c) = q(a) + q(b) - q(a)*q(b).

И кстати, у q(c) есть отличный смысл: это доля, которую круг занимает от площади полусферы!

Но ещё — при виде выражения A+B-AB просто-таки напрашивается вычесть единицу, ну или вычесть его из единицы, чтобы результат разложился на множители. И мы получим —

(1-q(c)) = (1-q(a))(1-q(b)).

Отлично! А чему величина 1-q(r) равна, что будет, если её посчитать?

Давайте возьмём сферу и нарисуем касающийся её вдоль всего экватора цилиндр. Оказывается, что площади колец, которые пара параллельных горизональных плоскостей вырезает на сфере и на цилиндре — одинаковы! (А если мы спроецируем сферу на цилиндр по лучам, идущим от «вертикальной» оси от северного до южного полюса, и перпендикулярным ей — то такая проекция будет сохранять площади.)

Поэтому площадь сферической шапочки, заданной центральным углом
θ =r/R,
равна

A= 2πR^2 (1-cos θ),

а площадь её дополнения до полусферы — и просто

2πR* (R cos θ) = 2πR^2 * cos θ.

Так что

1-q(r) = cos θ = cos (r/R),

и сферическая теорема Пифагора записывается в своём окончательном виде:

cos (c/R) = cos (a/R) cos (b/R).

И вот это уже окончательный вид сферической теоремы Пифагора!