Да, рассуждение Томассена — то, что плоские графы являются 5-выбираемыми — удивительно короткое.

Давайте предположим, что на плоскости нарисован граф, причём все его внутренние грани — треугольники (ясно, что от того, что мы проведём дополнительные рёбра, появятся только дополнительные условия).

Пусть его внешний цикл — v_1 v_2 … v_p ; более того, пусть:
- вершинам v_1 и v_2 предписаны конкретные несовпадающие цвета (пусть это 1 и 2 соответственно);
- всем остальным вершинам внешнего цикла — списки из (хотя бы) трёх цветов;
- ну и вершинам внутри — списки из 5 цветов.
Оказывается, у такого графа всегда существует правильная предписанная раскраска!

(Утверждение более сильное, чем нам нужно — но зато его проще доказывать по индукции.)

Набросок доказательства — мы будем доказывать по индукции по количеству вершин в графе. Если во внешнем цикле есть хотя бы одна «диагональ» — т. е. ребро v_a v_b, соединяющее внутри области две его вершины — то можно по нему разбить граф на две части. Сначала раскрасить ту, на границе которой есть ребро v_1 v_2. Получить раскраску для вершин v_a и v_b, и раскрасить вторую часть.

Если же такой диагонали нет (что, собственно, есть основной случай), то давайте возьмём вершину v_p — соседнюю с v_1 с другой стороны. Для неё формально есть 3 разрешённых цвета — так что хотя бы два из них отличны от цвета 1, который сопоставили вершине v_1. Выберем два таких цвета, x и y.
Теперь — выкинем вершину v_p. Какие-то из внутренних вершин графа тогда станут граничными — пусть это u_1,…,u_r. Из разрешённых им цветов (их было 5) выкинем оба x и y — у каждой из них останется хотя бы 3 цвета; так что можно применить предположение индукции и правильно раскрасить получившийся граф. Остаётся дораскрасить выкинутую вершину v_p — а единственный возможный конфликт, который остался, это ребро v_{p-1} v_p. Ну так раскрасим v_p в тот из цветов x и y, в который не окрашена вершина v_{p-1}. Ура!

Как пишет Томассен,
«The proof is probably the simplest proof of the 5-color theorem for planar graphs.»