Ответ на этот вопрос даёт формула Лефшеца.

Выглядит она так. Раз отображение f действует на многообразии M — оно действует и на всех k-мерных гомологиях
H_k(M,\R)
(которые мы будем рассматривать с вещественными коэффициентами, так что это векторное пространство).

Слово «гомологии» заслуживает отдельного комментария, но если вы с ними не сталкивались — давайте временно ограничимся тем, что это какие-то векторные пространства, сопоставленные многообразию, и измеряющие, насколько в нём есть что-то нетривиальное «в размерности k». Например, у сферы с g ручками нуль-мерные гомологии это одномерное пространство (порождённое «точкой»), двумерные гомологии это тоже одномерное пространство (порождённое «всей поверхностью»), а вот одномерные гомологии это пространство размерности 2g (порождённые обходами «вдоль» и «поперёк» каждой из ручек — или, что то же самое, «параллелями» и «меридианами» каждого из g торов, как связную сумму которых можно представить поверхность).

Так вот — отображение f действует на каждом из пространств k-мерных гомологий как линейное преобразование. А с линейным преобразованием много чего связано — в частности, можно рассмотреть след
tr (f_* , H_k(M,\R))

Давайте посмотрим на знакопеременную сумму таких следов. Оказывается, это и есть ответ!

Теорема (формула Лефшеца).
\sum_{f(p)=p} ind_f(p) = \sum_{k=0}^n tr(f_* , H_k(M,\R)).

То есть — сумма индексов неподвижных точек отображения определяется тем, как именно оно «перекручивает» многообразие. Красиво, правда?

Пример. Возьмём векторное поле v и «проедем» вдоль него небольшое время t_0 — получив диффеоморфизм f. Его неподвижные точки это в точности особые точки v (если время было достаточно малым, чтобы ни одну периодическую орбиту мы не успели полностью проехать). И индексы у них для отображения и для векторного поля одни и те же. Так что по теореме Пуанкаре–Хопфа сумма их индексов равна эйлеровой характеристике.

С другой стороны, заметим, что f гомотопно тождественному отображению (что f в тождественное отображение «можно перетянуть»). Действительно, достаточно рассмотреть семейство сдвигов вдоль того же векторного поля v за разные времена t. При t=0 это тождественное отображение, а при t=t_0 — наше f. Вот мы непрерывно и перетянули f в id.

А гомотопные отображения одинаково действуют на гомологиях. Так что для такого f его действие на каждых гомологиях просто тождественно, и значит, каждый след это просто размерность соответствующего пространства гомологий. А знакопеременная сумма размерностей пространств гомологий действительно равна эйлеровой характеристике!

P.S. Несколько ссылок про гомологии:
- курс В. А. Васильева «Гомологии, наборы плоскостей и формула включений-исключений» в ЛШСМ-2011: https://www.mathnet.ru/present3568
- книга В. В. Прасолова «Элементы теории гомологий», МЦНМО, 2006 https://old.mccme.ru/free-books/prasolov/homol.pdf
- курс Г. Ю. Паниной в ЛШСМ-2023: https://old.mccme.ru//dubna//2023/courses/panina.html