Warning/disclaimer: уровень сложности начинает повышаться.
Итак, для векторных полей на (замкнутых ориентированных) многообразиях сумма индексов особых точек всегда равна эйлеровой характеристике. А нельзя ли что-то подобное сделать для отображений?
Пусть у нас есть отображение f:M->M, и у него есть изолированная неподвижная точка p. Тогда рядом с ней можно взять локальные координаты (карту) и рассмотреть векторное поле v_f, «соединяющее» каждую точку x с f(x). У этого поля p будет изолированной особой точкой => можно рассмотреть его индекс.
Определение. Индекс изолированной неподвижной точки p для отображения f — это её индекс для этого векторного поля v_f:
ind_f (p) := ind_{v_f}(p).
Несложно убедиться, что это определение корректно — если мы используем другую карту, индекс будет тем же самым.
Но у нас уже нет глобального векторного поля: если x и f(x) «далеко» друг от друга, то неясно, как именно их соединять. Скажем, если мы на торе — обходить ли «по» или «против» меридиана?
Так что сумма индексов неподвижных точек отображения f уже не обязана быть равна эйлеровой характеристике. А чему она будет равна?
Post #4520
1.77K
Математические байки Продолжим? Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке.…