Продолжим?

Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке. Если брать аналогию с векторным полем как набором скоростей ветра — то ветер не дует ни вверх, ни вниз, а в каждой точке по касательной к Земле в этой точке.

Теперь, если кривая γ «большая», мы не можем сравнивать направления векторов в разных её точках — касательные плоскости в них разные. А вот если она нам задана вместе с картой, целиком кривую содержащей — тогда можно перенести векторное поле на карту, и индекс опять определён. И от выбора карты результат будет зависеть: индекс векторного поля вдоль экватора, посчитанный с помощью карты-северного полушария, отличается от индекса, посчитанного в южном полушарии.
Но индекс особой точки всё ещё определён (ибо маленькая окружность заключена в карте).

Так вот, есть такое замечательное утверждение:

Предложение. Сумма индексов особых точек векторного поля на S, у которого особых точек конечное число — от выбора такого поля не зависит.
Набросок доказательства. Если деформировать поля друг в друга, оставаясь в классе полей с изолированными особыми точками, то сумма остаётся постоянной в процессе деформации. Действительно, в любой момент разрежем поверхность на маленькие кусочки, границы которых в текущий момент не проходят через особые точки поля. Тогда, в силу теоремы о сумме индексов, вся сумма равна сумме индексов по границам кусочков (закрываемых картами, содержащими кусочки целиком). А каждый из таких индексов при малом возмущении не меняется. Так что сумма индексов — локально-постоянная функция; а значит, она и просто константа.

Остаётся убедиться, что любые два поля перетаскиваются одно в другое. Ну и для этого можно сначала соединить любые два векторных поля u и v просто отрезком
u_t(p)=t*u(p) + (1-t)*v(p), t\in [0,1].
А потом, если этот путь от u_0=u к u_1=v не работает (в какой-то момент t у поля u_t есть неизолированные особые точки), возмутить его, заменив на близкий, но «типичный»: наличие неизолированной особой точки это очень, очень сильное вырождение.

А чему равна эта сумма? Ответ очень красивый:

Теорема Пуанкаре-Хопфа. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными особыми точками на замкнутом ориентированном многообразии M равна эйлеровой характеристике многообразия χ(M).

(Она справедлива для любой размерности M, но у нас пока что индекс точки определён только для поверхности, так что давайте я пока продолжу, как будто M это поверхность.)

Доказательство. Мы уже убедились, что сумма не зависит от выбора поля. Остаётся построить поле, у которого ответ будет точно равен χ(M). Давайте триангулируем M и возьмём поле, у которого особые точки — по одному источнику в центре каждого треугольника, по седловой точке в середине каждого ребра, и по стоку в каждой вершине триангуляции (см. рис. ниже).
Индексы источника и стока равны по +1, у седловой точки он (-1), так что сумма индексов как раз и будет равна эйлеровой характеристике,
В-Р+Г= χ(M).

Собственно, мы только что доказали теорему о причёсывании ежа: эйлерова характеристика сферы равна 2 (классическая формула Эйлера для многогранников, В-Р+Г=2 !), так что сумма индексов особых точек должна быть равна 2. И значит, хотя бы одна особая точка должна быть (сумма пустого множества равна 0).