Ещё одно применение логики деформации — это
Теорема о даме с собачкой: если для двух векторных полей u, v в любой точек кривой γ выполнено |u(x)|>|v(x)|, то
ind_γ u = ind_γ (u+v).

Действительно, соединим поля u и u+v путём u_t=u+tv, где «время» t\in [0,1]. Ни в какой момент на γ нет особых точек u_t (ибо |u|>|v|), так что индекс при деформации не меняется. Значит, индексы начального поля u и конечного u+v равны.


Кстати, на этом пути можно доказать основную теорему алгебры. Действительно, комплексный многочлен P(z) тоже можно рассматривать как векторное поле: в точке z\in C = R^2 ставим вектор P(z)\in C = R^2.

Рассмотрим теперь огромную окружность γ_R = { |z|=R }.
На ней старший моном z^n сильно больше, чем все остальные. Значит, можно применить теорему о даме с собачкой: индексы вдоль γ_R полей, задаваемых z^n и полным многочленом P, совпадают.
Но \arg z^n = n \arg z, так что индекс z^n равен n.
Значит, особые точки — корни многочлена P — внутри γ_R есть!

Собственно, индекс особой точки такого поля равен её кратности как нуля P, так что сумма кратностей корней сразу получается равной n.

Вот тут у Г. А. Мерзона выложен листок с задачами про всё это —
см. https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/31d-vector_fields.pdf