Пусть теперь у векторного поля в какой-то области D все особые точки изолированные. Посмотрим на его индекс вдоль границы \gamma=∂D этой области.

Если «сдуть» D (как воздушный шарик), не давая её границе перескакивать через особые точки v — то останутся как раз обходы вокруг этих особых точек, да плюс пути между ними туда-обратно, которые дают сокращающийся вклад. Так что верна такая замечательная

Теорема. Индекс векторного поля по [положительно ориентированной] границе области равен сумме индексов его особых точек в этой области,
ind_{∂D} v = \sum_{p: v(p)=0} ind_p v.