Давайте я (для начала) вспомню совсем классический сюжет: векторые поля на плоскости, их особые точки и индексы.

Пусть задано какое-то векторное поле v на плоскости: в каждой её точке x\in R^2 непрерывным образом выбран вектор v(x)\in R^2.

Пусть у нас есть замкнутая ориентированная кривая \gamma, не проходящая через нули поля v — их называют особыми точками. Тогда мы можем определить индекс векторного поля v вдоль этой кривой,
ind_\gamma (v).
А именно: пойдём вдоль \gamma и будем смотреть, сколько оборотов (с учётом знака) сделает вектор v(.) к моменту, когда мы пройдём всю кривую и вернёмся в исходную точку.

Можно себе представить, что векторное поле v показывает, как в этой области дует ветер, а мы ходим по нашему любимому маршруту \gamma с флюгером и смотрим, сколько оборотов он сделает. Важно, что это — целое число: при обходе мы вернулись в исходную точку, значит, вектор вернулся в исходное положение.

Упражнение: найдите индекс векторного поля вдоль синей кривой на картинке.
Ответ: 2.