А вот у квадрата, как бы он ни был расположен, инвариант Хадвигера нулевой. Так что, как минимум, препятствий к тому, чтобы его повернуть на какой-нибудь угол, нет.

Так вот — это и впрямь можно сделать. А именно — давайте сначала посмотрим на переформулировку теоремы Пифагора: если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить по квадрату, то сумма площадей меньших квадратов равна площади большего. И это можно доказать, разрезая меньшие квадраты, передвигая части и собрав из них больший, и не используя повороты!
После чего — можно разрезать большой квадрат на два маленьких, и собрать из них обратно большой, но уже повёрнутый: см. иллюстрацию.

(image credit: Yves Coudène, Un triangle et une énigme, Images de Mathématiques.)

И это — частный случай теоремы Хадвигера—Глюра, утверждающей, что площадь S(F) и набор инвариантов Хадвигера J_L(F) это и есть полный инвариант для операций разрезания и параллельного сдвига частей.