Давайте я дам ответ — и объясню, почему он именно такой.

Треугольник «перевернуть» разрезаниями и перекладываниями нельзя. Как обычно, чтобы доказать, что что-то сделать нельзя, нужно придумать какой-то инвариант. Давайте посмотрим у многоугольника на длины его горизонтальных сторон. Сложим их со знаком: с плюсом, если внутренняя часть многоугольника лежит сверху от стороны, и с минусом, если снизу. Наконец, если у нас есть несколько многоугольников — сложим такие суммы длин для них для всех. Обозначим такую величину для набора F фигур через J_{гор.}(F).
Утверждение: получающаяся величина сохраняется как при параллельном переносе, так и при разрезании многоугольника на части.
Доказательство. Первое очевидно, а при проведении горизонтального разреза он даёт равный вклад с плюсом и с минусом — и потому сумма не изменяется.

Так что сумма J_{гор.}(F) — инвариант. И этот инвариант разный для треугольников вершинами вверх и вниз — он как раз отличается знаком.

Естественно, можно брать не только горизонтальные стороны, а стороны любого фиксированного направления L. Так что получается целый набор таких инвариантов Хадвигера J_L(F) — которые можно объединить в один, но векторный (со значениями в функциях из направлений в числа, не равных нулю лишь в конечном числе значений).