И если такое отображение T на OKNM применить несколько раз — то в его кусочках за несколько применений появляется опять такое же отображение T, с точностью до гомотетии!
(Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…)

Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности».


И к этому относится абзац из Шварца:

Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.