А что будет для других правильных многоугольников? Вообще-то, было бы логично, чтобы случаи n=3,4,6 оказались исключением. Потому что в этих-то случаях вектора, соединяющие различные вершины, все принадлежат некоторой решётке — и каждая вторая итерация обязана только на вектора из такой решётки смещаться, так что варианты для неё дискретны. А отсюда до периодичности уже недалеко: достаточно не убежать на бесконечность.

Но для других-то правильных многоугольников всё не так, множество в принципе возможных векторов сдвига (за много итераций) тут уже всюду плотное (а вовсе не дискретное)…

Скриншот выше — из записок обзорной лекции Р. Шварца (R. Schwartz, Survey Lecture on Billiards, ICM-2022).