Окончание лекции Владлена было посвящено внешним бильярдам. Определяются они так: пусть на плоскости задана выпуклая фигура P. Зададим отображение F в её дополнении так: чтобы найти F(x), проведём из точки x (правую) касательную к P, после чего отразим x симметрично относительно точки касания.

Стандартный вопрос теории динамических систем — что можно сказать о таком отображении, о его итерациях? В частности, как могут быть устроены его периодические точки?

Рассмотрим частный случай, когда P это выпуклый многоугольник — соответствующая динамическая система называется полигональным внешним бильярдом. Тогда плоскость делится на области, в которых внешняя касательная касается многоугольника в конкретной его вершине — и в ограничении на каждую такую область отображение F это центральная симметрия вокруг соответствующей вершины. А вторая итерация, F^2, состоит в разрезании области на части и применении на каждой из них какого-то параллельного переноса (композиция двух центральных симметрий). То есть получается отображение, чем-то похожее на перекладывание отрезков.

Если взять в качестве области P правильный треугольник, квадрат или шестиугольник, то оказывается, что все точки плоскости периодичны — на третьей из картинок иллюстрация для случая единичного квадрата; траектории всех точек из той же «клеточки» (с такими же целыми частями абсциссы и ординаты) замкнутся, пройдя по такому же пути.

(Впрочем, если говорить совсем аккуратно, надо ещё оговорить, что есть точки, где отображение F не определено — лежащие на продолжениях сторон; именно они и их прообразы разделяют идущие по-разному траектории.)