Так вот, давайте ещё чуть-чуть посмотрим на прямую R.
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.

Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.

А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?