Например: группа Ли SL(2,R) это линейные преобразования плоскости, так что их можно заставить действовать и на проективной прямой (a.k.a. «окружности направлений», a.k.a. множестве прямых, проходящих через 0) — получаются преобразования Мёбиуса (а в координате y=tg(\varphi) они задаются дробно-линейными отображениями). Так что то и любая решётка (дискретная подгруппа с конечным объёмом фактора) в SL(2,R) тоже умеет действовать на окружности.

Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)

Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)

На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.