К первой фотографии отсюда (самое начало рассказа Катрин) — там был вопрос о том, какие группы на каких многообразиях (не) действуют.
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.

Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).

Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.

А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?