какими формулами задаются «Вавилонские» итерации?

если одна сторона прямоугольника площади 2 равна x, то вторая равна 2/x

дальше мы заменяем x на среднее арифметическое двух сторон, x→x/2+1/x (и прямоугольники становятся все ближе к квадратам, а x все ближе к √2)

сравним это с методом Ньютона: чтобы найти корень уравнения f(x_0)=0, мы начинаем с какого-то x и представляем себе, что f примерно линейная — если f(x+t)≈f(x)+tf'(x), то f≈0 при t=-f(x)/f'(x), т.е. новое приближение получается заменой x→x-f(x)/f'(x)

в частности, для функции x²-2 мы получаем те же самые итерации: x-(x²-2)/(2x)=x/2+1/x