Так вот — на самом деле, то, что мы тут исследовали ним на двух кучках, совершенно неважно! То же самое правило наименьшего исключенного (mex-rule) строит соответствующее *n (ним на одной кучке из n камней) и для любой равноправной игры. А именно: пусть у нас есть какая-то равноправная игра, будем сопоставлять ей ним-игру *n по индукции. Если уже построены сопоставления для всего, что можно из данной позиции получить за один ход, и это *n_1,…,*n_m, то самой позиции сопоставляем *n, где n — наименьшее неотрицательное целое число, не встречающееся среди n_1,…,n_m.

Доказательство теоремы Шпрага-Гранди. Построить-то соответствующие ним-игры мы построили, но остаётся проверить, что построенная игра действительно равна исходной — то есть что их сумма нулевая. А для этого в их сумме мы предъявим выигрышную стратегию для второго игрока.

Пусть из исходной позиции A нашей игры можно пойти в A_1,…,A_m — которым соответствуют ним-игры *n_1,…,*n_m, и мы уже знаем, что
A_j + *n_j =0.
Мы взяли n = mex(n_1,…,n_m), и рассматриваем сумму A+*n. Докажем, что в ней выигрывает второй игрок.

Действительно, что может сделать первый игрок? Он может сделать ход со стороны A, переведя её в одну из A_j с n_j<n. Тогда мы отвечаем, оставляя *n_j из n камней в *n — и тем самым отдаём противнику позицию A_j + *n_j, проигрышную по предположению.

Он может сделать ход со стороны ним-кучки, перейдя от *n к какому-то *n’. Но раз n было наименьшим исключённым из n_1,…,n_m, значит, найдётся j такое, что n’=n_j. И тут уже мы отвечаем, переходя из A в A_j и опять приводя игру в проигрышную позицию A_j + *n_j.

Наконец, первый игрок мог сделать ход со стороны A, переведя её в одну из A_j, но с n_j>n. Тогда мы ответим ходом из A_j. А именно — n<n_j, поэтому найдётся позиция A_j’, куда мы из A_j можем пойти, которой сопоставлена *n (потому что n_j — наименьшее исключённое). Вот туда мы и пойдём — приведя игру к
A_j’+*n=0.

На самом деле, разбора вариантов n_j<n и n_j>n можно было и не делать, ограничившись замечанием, что *A_j + *n = *n_j + *n; в игре в правой части очевидно выигрывает начинающий (т.е. мы — ход сейчас наш), а у нас есть теорема, что замена игры на равную не изменяет победителя. Но так у нас есть не только теорема, но и явная конструкция стратегии.