Следствие/упражнение. Пусть A=B, т.е. есть такая игра D, что A+D=0 и B+D=0. Тогда для любой игры D’, такой, что A+D’=0, выполнено B+D’=0.

Решение 1. Достаточно рассмотреть сумму A+B+D+D’ и по-разному сгруппировать слагаемые.
Решение 2. Применить теорему к суммам D+B и D’+B, заметив, что D=D’, поскольку D+A=D’+A=0.

Замечание к решению 2. Кстати — все противоположные к данной игре A игры равны друг другу. Что хорошо в смысле разумности наших определений.

Упражнение. Если A=B, и C=D, то A+C=B+D.

Упражнение. Равенство игр — отношение эквивалентности.

Так что мы получили группу по сложению (классов эквивалентности) игр.

А ещё мы сейчас можем разобраться с нимом с произвольным количеством кучек.
Действительно, мы уже знаем, как устроены проигрышные позиции для нима с тремя кучками камней: это тройки количеств камней (k,m,n), связанные соотношением
n=XOR(k,m),
где XOR применяется к двоичным записям.

Но ним с несколькими кучками камней это сумма игр-отдельных кучек. Поэтому (и вспоминая про равноправность нима) мы получаем такое утверждение. Пусть *n обозначает ним с одной кучкой из n камней (в частности, *0 это игра с пустой кучкой камней — т.е. нулевая игра). Тадаммм:

Теорема. *k + *m = *n, где n=XOR(k,m).

Следствие. *n_1 + … + *n_k = *XOR(n_1,…,n_k).

Доказательство. Индукция по числу слагаемых k. База k=2 это утверждение выше, а для шага мы выделяем первые k слагаемых:
*n_1 + … +*n_k + *n_{k+1} = (*n_1 + … +*n_k) + *n_{k+1} =
*XOR(n_1,…,n_k) + *n_{k+1} = *XOR(n_1+…+n_k,n_{k+1}).

В частности, позиция проигрышная тогда и только тогда, когда ей соответствует ним с пустой кучкой камней, *0 — и вот и критерий того, что позиция (n_1,…,n_k) проигрышная: необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
XOR(n_1,…,n_k)=0.