Когда мы работаем с группой (или векторным пространством, или полем), то нулевой элемент один. А из определения выше видно, что нулевых игр много. Так что естественно, что мы сейчас захотим говорить о равенстве игр (в том же смысле, в каком в геометрии есть равенство треугольников — то есть, формально, нужно было бы говорить об эквивалентности игр, но это сделает текст менее читаемым).

А как проверить, что A=B? Можно перенести B в левую часть — и получится A-B=0. А « =0 » у нас уже определено!
Точнее — операции « минус » у нас ещё нет, зато есть « плюс » и определение противоположного. Приходим к такому:
Почти-определение. Игры A и B равны, если A+(-B)=0, где (-B) — противоположная игре B игра.

У этого почти-определения есть проблема: вообще-то, противоположных B игр (как и нулевых) тоже много. Так что мы не оговорили, это должно быть верным — для любой противоположной B игры? Для какой-то? Давайте это сделаем:

Определение. Игры A и B равны, если найдётся игра D, такая, что A+D=0 и B+D=0.

Ну и давайте из этого определения извлечём какую-нибудь пользу. А именно — равные игры можно заменять друг на друга в качестве слагаемых, и это не влияет на то, кто будет выигрывать.

Теорема. Пусть игры A и B равны. Тогда для любой игры C в суммах игр A+C и B+C выигрывает один и тот же игрок.

Следствие. Взяв в качестве C пустую игру (ходить вообще нельзя никак; конечно же, это самый естественный представитель класса нулевых игр!), видим, что в самих играх A и B, в частности, выигрывает один и тот же игрок.

(Ну, собственно, если бы это утверждение не выполнялось — я бы сказал, это было бы поводом отказаться от такого « равенства ».)

Доказательство теоремы. Давайте рассмотрим сумму четырёх игр:
A+C+B+D.

С одной стороны, можно сгруппировать слагаемые как (A+C)+(B+D), и раз игра B+D нулевая — мы уже знаем, что в сумме выигрывает тот же, что и в (A+C).

С другой — можно их сгруппировать как (B+C)+(A+D), и раз игра A+D тоже нулевая — мы знаем, что в сумме выигрывает тот же, что и в (B+C).

Значит, в A+C и в B+C выигрывает один и тот же игрок.