После этого, из каждого из уголков
(2^n,2^n,0),
(2^n,0,2^n),
(0,2^n,2^n),
начинает расти точно такой же куб размера 2^n с выигрышными и проигрышными позициями: пока мы по третьей координате не отошли от соответствующей грани больше, чем на 2^n, процесс заполнения выигрышных/проигрышных позиций повторяет процесс заполнения из (0,0,0). Потому что первые две координаты нельзя уменьшать ниже 2^n — мы попадём как раз в те самые лучи выигрышных позиций, идущие из углового куба, которые нарисованы синим на картинке выше.

Так что три новых куба со стороной 2^n будут заполнены выигрышными/проигрышными позициями точно так же, как и исходный угловой. А их объединение даёт куб со стороной 2^(n+1) — в котором опять в каждом столбце уже есть одна проигрышная позиция. Вот и шаг индукции.