Вот почти-мультфильм с тем, как по слоям заполняются выигрышные и проигрышные позиции для нима на 3 кучках, в которых исходно меньше 8 камней в каждой — или, что то же самое, в игре "ладью в угол" в кубе 8x8x8.

Справа — таблица текущего слоя; когда мы на него только переходим, из всех проигрышных позиций со всех слоёв ниже приходят выигрышные позиции, поэтому исходно он не совсем пустой.
Слои последовательно заполняются: механическим, раз за разом, применением правила "если из позиции можно пойти в проигрышную, то она выигрышная, а если можно только в выигрышные, то она проигрышная".

Слева — таблица "знаем ли мы уже для данного столбца, в каком слое в нём проигрышная позиция" (двух проигрышных позиций, одна над другой, быть не может).

(Кстати: обычно стрелочки вправо-влево позволяют перелистывать слайды так, чтобы они друг относительно друга не съезжали.)

И — наблюдая за такой, механически полученной, картинкой, можно пройти по очень правильному пути: заметить-сформулировать-доказать.