Ещё один сюжет — про меры с нулевым центральным показателем Ляпунова.

Есть давний вопрос теории динамических систем: «как ведёт себя типичная динамическая система?». В его понимании за прошедшие лет сто происходило несколько революций.

Когда-то — казалось, что типичная динамическая система «сваливается» в простой предельный режим: стремится к положению равновесия или периодической траектории.

Работы Картрайт, Литтлвуда и Левинсона, открытие подковы Смейла и диффеоморфизмов Аносова в начале 60-ых показали, что бывают неустранимо-хаотичные системы. И это была революция гиперболической динамики.

Типичный пример тут — отображение A=(2,1 \\ 1,1), действующее на торе R^2/Z^2: точка (x,y) переходит в (2x+y,x+y). У матрицы одно собственное значение λ_1 больше 1, второе λ_2 меньше.
Заменой координат на плоскости R^2 матрицу A можно было бы привести к диагональному виду: одна координата умножается на λ_1, вторая на λ_2 — и почти любая пара близких орбит разбегается с экспоненциальной скоростью: разница новых первых координат умножается на λ_1 на каждом шаге. Наоборот, если мы попробуем продолжить траектории в прошлое, траектории тоже будут разбегаться: разница новых вторых координат будет делиться на λ_2 на каждом шаге, и это опять экспоненциальное возрастание.

Произвольная система f:X->X, конечно, совершенно не линейная. Но рядом с любой точкой p можно посмотреть, что происходит «в линейном приближении». А именно, можно взять отображение за n шагов f^n, взять у него [~~производную~~] дифференциал в этой точке
B=df^n |_p,
взять её сингулярные значения µ_j (корни из собственных значений B^* B ) после чего посмотреть на величины
(1/n) log µ_j
(если бы у нас была линейная динамика, это были бы логарифмы модулей λ_j) и перейти к пределу, когда число итераций стремится к бесконечности. Эти пределы называются показателями Ляпунова.

Соответственно, положительный показатель Ляпунова отвечает экспоненциальному разбеганию траекторий, отрицательный — сближению. Если есть и положительные, и отрицательные показатели — то типичная пара точек разбегается со скоростью, диктуемой наибольшим показателем Ляпунова.

В чисто гиперболическом случае часть показателей Ляпунова положительна, часть отрицательна. И следующий вопрос — а может ли у типичной системы (и у её траекторий) быть не-экспоненциальное поведение? Насколько часто встречаются нулевые показатели Ляпунова? В точности нулевые — нельзя ли их изжить, если чуть-чуть "пошевелить" исходную систему?

Ещё в конце 1990-ых Юлий Сергеевич Ильяшенко и Антон Городецкий придумали стратегию Городецкого-Ильяшенко, которая позволяла строить примеры систем с нужным поведением траекторий (в том числе, в смысле показателей Ляпунова) «контролируемым образом».

А потом, в 2005-ом, мы вчетвером — Юлий Сергеевич, Антон, Максим Нальский и я — построили не разрушающийся малыми возмущениями пример, в котором нулевые показатели Ляпунова присутствовали не только в смысле отдельных траекторий, но и в смысле инвариантных мер. Эту работу мы между собой называли — по первым буквам фамилий — «ГИКН»; недавно коллеги, воспользовавшись анаграммой KING, назвали получающиеся из этой конструкции меры королевскими (royal measures). 🙂

И я помню два момента: когда всё только начиналось, мы сидели на 4-м этаже Независимого, Юлий Сергеевич объяснял нам, что хочется сделать, и у меня была (каюсь!) мысль «но это же не может сработать!». И второй, через несколько месяцев — когда стало понятно, что не просто всё работает, а что в результате получается «эндшпиль с лишними двумя фигурами»: можно довести рассуждение так, можно так, а можно вообще вот эдак, всё равно всё сходится. И это было очень сильно.

С днём рождения, Юлий Сергеевич! Спасибо Вам огромное — и всего Вам самого лучшего!