4-я задача, кажется, довольно простая — и, главное, решается « естественным образом ». (Disclaimer : я не смотрел написанные решения, так что не исключено, что в тексте ниже есть какой-то мой глюк. Но на вид вроде всё работает…)

Если бы не было условия различности x_i, то наименьшее значение у произведения под корнем было бы при всех x_i=1, равнялось бы n^2, и это даёт оценку a_n >= n. (Впрочем, требование, что все a_n целые, тоже это гарантирует — просто за счёт того, что a_{n+1}>a_n.)

Но из условия явно видно, что требуется в полтора раза больше.

Дальше — очень естественно, что поскольку x_i>0 просто вещественные числа, про них больше ничего не , когда x_1,…,x_{k-1} квадратный корень можно « подкручивать вверх », меняя x_k от того значения, когда произведение наименьшее, к 0 или к бесконечности. И тогда получающееся значение a_k « пробежит » все возможные значения от наименьшего возможного до бесконечности.
Значит, нужно посмотреть, какое именно это наименьшее значение.

Если мы уже знаем a_{k-1}, то под корнем у нас произведение двух сомножителей, которые нам дальше важны только сами по себе: мы к ним будем добавлять новые слагаемые, но не разбивать их на составляющие. Поэтому пусть эти скобки равны aS и a/S, где a:=a_{k-1}.
Следующее произведение это
(aS+x)(a/S + 1/x) = a^2+ a (S/x + x/S) +1,
где x=x_k
В скобках не меньше 2, поэтому само произведение не меньше (a+1)^2.
А минимальное значение тут такое, когда x=S. (И тогда новое S’ будет тем же самым S).
Поэтому никакие два последовательных увеличения a_{k+1}-a_k не могут оказаться равны 1 (потому что тогда два последовательных x_k совпадали бы). То есть каждое второе увеличение — хотя бы 2.

И вот и получаем ту самую оценку с коэффициентом (3/2).