Доказательство: давайте применим все подходящие штампы 🙂
*) не знаешь, как доказывать — доказывай от противного;
*) не знаешь, как доказывать — доказывай по индукции;
*) и, конечно, висящее на стене ружьё в виде подстановочной замены должно выстрелить!

А именно: последовательность Морса-Туэ сохраняется при подстановке T. Пусть в ней нашлось слово вида aXaXa. Давате посмотрим — а откуда оно там взялось, поднявшись на шаг назад.

Есть два случая:
1) Слово aX (и, соответственно, Xa) имеет чётную длину. Тогда либо слово aX, либо слово Xa разрезаются на пары символов, получающихся применением T. Соответственно, либо из целых «пар» состоят
(aX)(aX)[a?],
либо
[?a](Xa)(Xa).
В первом случае оба слова aX получаются из одинаковых (и вдвое более коротких) слов Y, и последняя буква a получается из такой же, как начало Y:
T(YYb)=aXaXa?, Y=bY’,
а во втором случае — оба слова Xa, и первая буква a получается из такого же символа, как и последняя буква Y:
T(bYY)=?aXaXa, Y=Y’b.
И тут, и там получаем более короткий пример перекрывающихся квадратов bY’bY’b.

Ну и база индукции —
T^2(0)=0110, T^2(1)=1001,
поэтому последовательность Морса-Туэ разрезается на подслова 0110 и 1001, так что ни трёх нулей, ни трёх единиц подряд там нет.

2) Пусть теперь слово aX имеет нечётную длину. Тогда два вхождения слова aXa нарезаются на пары символов, получающихся из кого-то под действием T, по-разному (потому что второе относительно первого сдвинуто на нечётную длину). Но тогда любые две соседние буквы в слове aXa либо в первом, либо во втором вхождении получаются из кого-то символа под действием T — а, значит, одна из них 0, а другая 1.
Значит, в слове aXaXa символы 0 и 1 просто чередуются. Но первая и центральная буквы a отличаются сдвинуты на нечётное число символов — и значит, совпадать не могут! Противоречие.