Так вот: почему фокус будет двигаться горизонтально? Раз мы знаем, что касание всегда будет в соответствовавших друг другу точках на сечении и на границе, то можно просто для каждой из точек эллипса-сечения разворачивать его вертикально вокруг касательной в этой точке.

Давайте вспомним, как доказывается, что сечение цилиндра (или кругового конуса) это эллипс. С двух сторон в цилиндр закидываются равные ему по радиусу сферы (сферы Данделена) — до касания с секущей плоскостью. Точки их касания с плоскостью — это и будут фокусы эллипса.
И тогда расстояние от фокуса-точки касания F до любой точки X сечения это длина касательной из X к сфере — и потому равно длине любой другой касательной из X к сфере, в частности, вертикальной. А это часть вертикального отрезка до горизонтальной окружности, по которой сфера касается цилиндра.

(картинка из « Сфер Данделена », Математические Этюды)