И сумму, которая должна получиться в каждом из маленьких сегментов, мы уже знаем: это его высота. Значит — опять же, если мы верим в японскую теорему — радиус окружности, вписанной в треугольник, должен быть разностью между высотой исходного сегмента и суммой высот двух получившихся.

Тадамм! В этот момент мы пришли к формулировке, в которой собственно « предельного перехода » уже нет. Тут участвует уже только треугольник, и три высоты сегментов, простые геометрические понятия.

Во-первых, это утверждение можно рассмотреть как самостоятельную задачу, и попробовать проверить и доказать. Если бы вдруг оказалось, что оно неверно — это бы автоматически означало, что неверна и сама японская теорема.

Во-вторых — как мы сейчас увидим, если это утверждение доказано, то японская теорема из него следует (и именно это и есть тот путь, которым мне хотелось пройти!).

Ну и в-третьих — вместо высот сегментов можно использовать расстояния до их хорд от центра большой окружности, благо, что это меняет результат на радиус R большой окружности. И получается
теорема (или формула) Карно: пусть в треугольнике R — радиус описанной окружности, r — вписанной, а x,y,z — расстояния от центра описанной окружности до его сторон, считающиеся со знаком в зависимости от того, с какой стороны центр лежит относительно соответствующей стороны (что то же самое, в зависимости от того, острый или тупой соответствующий угол). Тогда
x+y+z = R+r.