Циклоиду заметает камушек, застрявший в катящемся колесе. Давайте в каждый момент времени спроецируем камушек на вертикальный (в этот момент времени) диаметр циклоиды. Такая проекция движется по синусоиде: за время t колесо повернётся на угол t (пусть угловая скорость единичная), и поэтому высота камушка будет (1-cos t)R — ну а проедет оно расстояние tR.
Площадь под синусоидой найти не штука — получается 2πR^2, потому что половина площади прямоугольника 2R x 2πR, в который она "вписана" и который она разбивает на две равные части. А сколько остаётся на "лепестки"?
Оказывается, ровно площадь круга, πR^2. Ведь горизонтальная "нарезка" позволяет из каждого из "лепестков" собрать по половине круга, сдвинув точку синусоиды на одну и ту же вертикаль.

Итого, ответ: площадь под аркой циклоиды равна 2πR^2+πR^2=3πR^2, то есть втрое больше, чем площадь самого катящегося колеса.