Доказательство — приблизим экватор многоугольником. Для многоугольного выпуклого экватора (на проходящей через центр Земли плоскости), когда мы закрашиваем точки над ним, но на расстоянии не больше h от него — получается объединение прямоугольников и секторов круга радиуса h в вершинах.

У "горизонтальных" сторон прямоугольника на высоте h сумма такая же, как периметр экватора. А сектора круга собираются в точности в круг радиуса h — можно себе представить человека ростом h, совершившего по экватору кругосветное путешествие, он как раз сделает полный оборот.

Соответственно, новый периметр это старый периметр (многоугольного экватора) + 2πh. Осталось сказать, что чем точнее мы приближаем экватор многоугольником, тем ближе периметр многоугольника к длине экватора. Так что и в общем (выпуклом) случае длина верёвки, везде поднятой на высоту h, увеличится ровно на 2πh.
(Кстати, если взять в качестве экватора эллипс с полуосями a и b, вопрос о том, насколько увеличится длина верёвки при поднятии везде ровно на h — на вид убойная задача с эллиптическими интегралами!)