если закрасить выпуклый многоугольник, а потом еще добавить все точки на расстоянии не более R от него, то закрашенную площадь легко посчитать:

она складывается из площади самого многоугольника, периметра, умноженного на R (синие прямоугольники) и… площади круга радиуса R — синие сектора как раз складываются в полный круг (подумайте про это!)

замечательно, что зависимость площади от R всегда полиномиальная — даже если брать не многоугольник, а любую выпуклую фигуру, даже если не на плоскости, а в пространстве…

а какой смысл имеют коэффициенты этого многочлена?

(продолжение следует)