А теперь представьте себе, что мы максимизируем или минимизируем функционал — функцию от функции, то есть что-то, определённое на бесконечномерном пространстве функций (или кривых, или ещё чего-то аналогичного).

Например, к этому классу вопросов относится изопериметрическая задача (максимизировать площадь фигуры с заданным периметром; ответ, конечно, круг), задача Дидоны (на берегу моря отгородить верёвкой, сделанной из шкуры быка, фигуру максимальной площади; ответ — полукруг: достраивая фигуру симметрично в море, мы сводим эту задачу к изопериметрической). Задача о кривой наибыстрейшего спуска, брахистохроне: по какой траектории боб для бобслея быстрее всего спустится из точки A в точку B? (Наверное, все видели соответствующий ролик Мат.Этюдов — https://etudes.ru/etudes/cycloid/ ?)
Потому что если траектория боба задаётся графиком y=-f(x), то скорость его над точкой x из закона сохранения энергии будет равна \sqrt{2g*f(x)}, и затраченное время будет интегралом:
T = \int \sqrt{1+f'^2(x)}/\sqrt{2g*f(x)} dx.

Наконец, наша задача тоже попадает в этот же класс: мы минимизируем площадь фигуры вращения, которая задаётся интегралом
\int 2π*\sqrt{1+f'^2(x)}*f(x) dx
(длина окружности 2π*f(x), а между x и x+Δx высота кольца это Δx*\sqrt{1+f'^2(x)}).

Так как же решать (хотя бы в первом приближении — на уровне байки) все такие задачи?