Если действовать чуть более честно, то можно рассмотреть все двусторонне-бесконечные последовательности, а только периодические с периодом N. С естественным скалярным произведением
<f,g>= \sum_{n=1}^N f_n \bar{g}_n,
и соответствующей нормой
|f|^2= \sum_{n=1}^N |f_n|^2.
Тогда нам подходят не все геометрические прогрессии, а только те, у которых знаменатель в степени N даёт единицу:
r_j = e^{2πi j/N}
(что то же самое, \alpha_j=j/N),
что даёт нам собственные вектора F_j = F_{\alpha_j}:
(F_j)_n = e^{2πi j*n/N}.

Поскольку каждый их коэффициент равен по модулю 1 — у них у всех квадрат длины равен N (ибо сумма N единиц).

Проекция на вектор v задаётся как
f -> <f,v>/<v,v> * v
(контрольная проверка: то, что перпендикулярно v, переходит в ноль, а сам вектор v в себя — на то и знаменатель), поэтому разложение по ортогональному базису F_j исходного вектора f записывается как
f = \sum_j <f, F_j> / <F_j,F_j> *F_j
=(1/N) \sum_j <f, F_{\alpha_j}> * F_{\alpha_j},