//putting my physicist hat on//
Но (я не буду придавать этому кусочку аккуратный смысл, байка есть байка) — есть обобщённые: геометрические прогрессии
(F_{\alpha})_n=e^{2πi \alpha n},
где \alpha из окружности R/Z, с единичным по модулю знаменателем
r=e^{2πi \alpha}
(собственно, принадлежащим окружности |r|=1 на комплексной плоскости).

Они, конечно, не принадлежат пространству l_2 — ряд из квадратов модулей это ряд из одних единиц — но давайте мы это сейчас проигнорируем.

Тогда можно разложить функцию f по такому "базису" — сопоставив каждой точке \alpha окружности R/Z соответствующий коэффициент-"скалярное произведение"
u(\alpha) = \sum_n f_n e^{-2πi \alpha n}.

На самом деле — мы только что придумали заново ряд Фурье! (Правда, у нас в итоге минус перед \alpha оказался не там, но это не так важно.)
Потому что в обратную сторону мы возвращаемся интегралом
f_n = \int_0^1 u(\alpha) (F_{\alpha})_n d\alpha =
\int_0^1 u(\alpha) e^{2πi \alpha n} d\alpha.
Так что последовательность f — это (с точностью до замены n на -n или \alpha на -\alpha) последовательность комплексных коэффициентов Фурье функции u на единичной окружности.

(Правда, я тут пару раз сжульничал, один раз, когда забыл нормировать коэффициент на [бесконечную] норму базисного вектора, а второй, когда сумму по базисным векторам заменил на интеграл. Так вот — эти два жульничества отменяют друг друга, и всё в итоге получается правильно.)