А что у H с собственными векторами? [Тут чуть-чуть отклонюсь от хода лекции и добавлю отсебятины]
Если бы нас интересовали просто последовательности, без всяких условий — то подошли бы любые геометрические прогрессии r^n.

Это и логично: наш оператор коммутирует с оператором "сдвига всей последовательности влево", поэтому логично искать у них общие собственные вектора — а у сдвига влево собственный вектор с собственным значением r это как раз геометрическая прогрессия со знаменателем r.

Но они нам не подходят. Скажем, если |r|>1, то такая последовательность экспоненциально возрастает при сдвиге вправо, а если |r|<1 — при сдвиге влево. И это уж совсем ни в какие ворота.
Увы, последовательности с |r|=1 тоже буквально в нашем пространстве не лежат — хоть они по модулю не растут, но и не убывают. Поэтому настоящих собственных векторов у H нет.