Собственно, этот оператор — чуть-чуть подправленная дискретная версия одномерного оператора Лапласа: вместо второй производной взято второе приращение
(f_{n+1}-f_n) - (f_n-f_{n-1}) = (f_{n+1}+f_{n-1}) - 2f_n,
из которого часть "-2*f_n", умножение функции на (-2), убрали (что на собственные вектора не влияет, а все собственные значения должно было увеличить на 2).

Если брать буквально всё пространство последовательностей — то оно "слишком большое" и не нормированное. Поэтому правильно рассматривать пространство l_2 последовательностей со сходящейся суммой квадратов модулей. В котором есть естественное скалярное произведение,
<f,g>= \sum_n f_n \bar{g}_n,
и порождённое им расстояние: длина вектора это корень из его скалярного квадрата
|f|^2 = \sum_n |f_n|^2.
Кстати, если у нас есть единичный по длине вектор \psi, а оператор мы рассматриваем как пришедший из квантовой механики — то |\psi_n|^2 можно интерпретировать как вероятность того, что при измерении частица окажется в точке n. Как раз получаются неотрицательные числа с суммой 1.