Давайте теперь я чуть-чуть поговорю про вторую половину.
Если линейное преобразование переводит вектор в пропорциональный себе, то такой вектор называется собственным вектором, а коэффициент пропорциональности — собственным значением.
Есть очень хорошее видео 3blue1brown про эти понятия —
https://www.youtube.com/watch?v=PFDu9oVAE-g
Собственно, то, что числа Фибоначчи растут как c*φˆn, связано с тем, что φ — наибольшее собственное значение матрицы
(1 1)
(1 0),
применение которой соответствует сдвигу "окна наблюдения" в последовательности Фибоначчи: она переводит вектор (F_n, F_{n-1}) в (F_{n+1},F_n).
А набор собственных значений конечной матрицы называется её спектром.