Угол \theta в нашем случае несложно найти — на дугу длины \theta (на окружности длины 1) попадает при иррациональном повороте примерно такая же доля итераций (потому что орбиты распределяются примерно в соответствии с мерой Лебега). Но мы знаем, как устроена эта доля: от 1 до N^2 будет примерно \sqrt{2}*N треугольных чисел, так что доля "двоек" в нашей последовательности стремится к (sqrt{2}-1). Поэтому
\theta=\sqrt{2}-1.

Нужно ещё найти начальную точку — именно из-за неё последовательность в себя переходит не за один шаг замен, а за два (собственно, могла и бы и вообще буквально в себя не переходить: разных вариантов выбора начальной точки континуум, а переходящих буквально в себя, даже со сдвигом, подстановочных последовательностей лишь счётное число).