Ещё вместо произведения всех простых, не превосходящих n, можно взять наименьшее общее кратное N всех чисел от 1 до n — и посмотреть на его логарифм. В разложение этого НОКа N в произведение простых все простые, не большие n, попадают — но некоторые в степени, большей 1. А именно — каждое простое p входит в разложение N в той максимальной степени, в которой оно ещё не превосходит n. Поэтому его логарифм можно записать так:
ln N = \sum_{p,k: p^k<=n} ln p
(как раз каждое слагаемое ln p появляется нужное число раз)
Так вот — это и есть то, как определяется функция Чебышева ψ(x):
ψ(x):= \sum_{p,k: p^k<=x} ln p.

И ещё одна эквивалентная переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел — это что ψ(x)~x. Потому что разница между ψ(x) и θ(x) в реальности пренебрежимо мала — она складывается только из тех простых p, которые не превосходят квадратного корня из x, а вклад каждого такого p не больше произведения
(ln n/ln p)*ln p = ln n,
то есть всего лишь логарифма ln n — "копеечный".