Продолжим?
Мы в прошлый раз посмотрели на то, как доля простых чисел от 1 до n с ростом n уменьшается: как 1/ln n, так что, с одной стороны, она стремится к нулю — но с другой, делает это очень медленно (ибо логарифм это практически количество цифр в записи n, только умноженное на ln 10 ≈ 2.3).

Давайте теперь сделаем один шаг в переформулировке асимптотического закона: вместо того, чтобы считать простые числа "поштучно", посчитаем сумму их логарифмов. А именно — рассмотрим функцию
θ(x) = \sum_{p<=x} ln p.

Так вот, эквивалентная форма асимптотического закона распределения простых чисел, это что θ(x)~x. Потому что, опять же, логарифм меняется медленно-медленно. И, например, доля тех чисел от 1 до n, у кого логарифм меньше логарифма n хотя бы на 5% (или на 1%, или вообще на любую фиксированную величину) — стремится к 0 (потому что это 1/n^0.05, или 1/n^0.01, или...), так что ими можно пренебречь. Так что складывать ln p или умножить количество простых на ln n — почти одно и то же.

А в таком виде на это чуть приятнее смотреть. Например, потому что стоит сумма логарифмов простых чисел — то есть логарифм их произведения. Так что θ(n) — это логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих n.