Но верхняя полуплоскость переводится в единичный диск дробно-линейным преобразованием
z -> (z-i)/(z+i)
(переводящим вещественную прямую в единичную окружность), так что PSL(2,Z) действует и на единичном диске, и можно рисовать фундаментальную область и там. И вот она, на первых кадрах ролика. (Кстати, дуга единичной окружности при таком преобразовании действительно переходит в вертикальный отрезок!)

(Image credit: ICM 2022)