===
Давайте я сделаю небольшую паузу — хотя история про пентагональную теорему не закончена! — и поделюсь замечательным видео, которое выложили организаторы ICM-2022 как анонс их конкурса.

Группа SL(2,Z) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями — матрица (a, b \\ c, d) действует преобразованием
z-> (az+b)/(cz+d);
при этом минус тождественная матрица действует тоже тождественно, поэтому на самом деле действует группа
PSL(2,Z)=SL(2,Z)/{Id, -Id}.

Фактор верхней полуплоскости по её действию это модулярная кривая, на которой есть две конические особенности (i и e^{πi/3}, "отвечающие" квадратной и треугольной решёткам, если думать об этом действии в терминах решёток на плоскости) и один касп = "проколотая точка", отвечающий направлению "вверх на бесконечность" (или, что то же самое, вырождению решётки).

У этого действия есть стандартная фундаментальная область (склейкой границ которой модулярная кривая и получается) — вот так она выглядит в верхней полуплоскости.