Ну и остаётся совсем ничего: если Q(x) это исходное произведение, а T(x) это производящая функция для σ(n), то пентагональная теорема утверждает, что
Q(x)= 1 -x -x^2 +x^5 +x^7 - ...,
а мы только что получили, что
xQ'(x)/Q(x) = T(x).
Если домножить на знаменатель — то получается
T(x)*Q(x)=xQ'(x).
И приравнивание коэффициентов при x^n как раз и даёт то самое рекуррентное соотношение на σ(n); а появление n вместо σ(0) происходит из-за правой части (где для [обобщённых] пятиугольных n коэффициент умножается на n).