На самом деле, когда утверждение уже есть, его вывод из пентагональной теоремы очень естественен. Я очень люблю принцип "видишь длинное произведение — прологарифмируй!"; если прологарифмировать произведение
Q(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)...,
стоящее с одной из сторон равенства в пентагональной теореме, то получается сумма
ln Q(x) = \sum_d ln(1-x^d).
Если её теперь продифференцировать, то логарифмы исчезают, и остаётся
Q'(x)/Q(x) = \sum_d d*x^{d-1}/(1-x^d).
И если теперь домножить на x, то в правой части получается в точности производящая функция для σ(n)!