Доказал Эйлер её, собственно, далеко не сразу. В 1740-м, заинтересовавшись этой темой после письма Филиппа Науде (Philippe Naudé) — где был, среди прочего, вопрос "сколькими способами можно представить 50 в виде суммы 7 различных слагаемых" — Эйлер её открывает экспериментально. Упоминает в том же 1740-м в письме Даниилу Бернулли, и включает в свою статью "Observationes analyticae variae de combinationibus", которую подаёт в 1741 году.
Вот тут можно посмотреть на скан, видимо, оригинального издания; вот тут — на неё в его полном собрании сочинений, тоже на латыни; а вот тут — на английский перевод. Кстати — выхода статьи ему пришлось ждать 10 лет(!):