Мы получаем сумму слагаемых вида p(n-s) со знаками. Причём, если раскрыть все скобки, то p(n-s) появляется по одному разу на способ его представить в виде суммы различных слагаемых: разница аргументов p(.,.) на каждом шаге либо сохраняется, либо уменьшается на j-1 (а на первом шаге, при сумме по j, равна n-j). При этом каждое увеличение на j-1 меняет знак.

Вот и получается, что каждое p(n-s) в итоге участвует с весом, равным числу способов представить s как сумму нечётного числа различных слагаемых минус число способов как сумму чётного их числа.