И очень естественная идея — если нужно доказывать, что два множества одной мощности, то можно попробовать между ними построить биекцию (а если множества отличаются на 1 по мощности — то какой-то элемент из области определения выпустить).

Именно так это доказательство и проводится — а именно, на множестве разбиений n на различные слагаемые строится инволюция (отображение, в квадрате равное тождественному), гарантированно меняющая чётность числа слагаемых. И иногда (как раз для тех самых n) определённая не на всех разбиениях, а на всех, кроме одного.